[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.Jeżeli biegun redukcji przyjmiemy w chwilowym środku obrotu C, a nie w dowolnym punkcieO′ (rys.5.19), to prędkość dowolnego punktu M bryły możemy wyrazić wzorem:v = v + ω× CM.CPonieważ z założenia prędkość punktu C jest równa zeru ( v = 0 ), więc prędkość punktu M będzie Copisana wzorem:v = ω× CM.(5.73)Z otrzymanego wzoru wynika, że prękość dowolnego punktu M bryły jest prostopadła do prostejłączącej punkt M z chwilowym środkiem obrotu C.Ponadto występujące w tym wzorze wektory ω i CM są prostopadłe, więc moduł prędkościv = ω CM, (5.74)czyli jest proporcjonalny do odległości CM punktu M od chwilowego środka obrotu.Z powyższych rozważań oraz z otrzymanych wzorów wynikają następujące wnioski:a) Ruch płaski bryły można sprowadzić do toczenia się bez poślizgu centroidy ruchomej ponieruchomej.b) Ruch płaski bryły można w każdej chwili rozpatrywać jako chwilowy ruch obrotowy wokółchwilowego środka obrotu.vBABvAβαCωRys.5.20.Wyznaczanie chwilowego środkaobrotuZe wzoru (5.73) wynika, że chwilowy środek obrotu C leży na prostej prostopadłej do wektoraprędkości v dowolnego punktu M bryły.Zatem do wyznaczenia chwilowego środka obrotu wystarczy znajomość kierunków prędkości dwóch punktów bryły.Będzie on leżał w miejscu przecięcia prostych prostopadłych do kierunków prędkości punktów A i B (rys.5.20).Mając już wyznaczony punkt C, wartości prędkości punktów A i B obliczymy ze wzoru (5.74):vA = ω AC i vB = ω BC.(d)Dla znanej wartości vA z pierwszego wzoru obliczymy chwilową prędkość obrotową ω:ω = vA ,ACa następnie możemy wyznaczyć moduł prędkości vB punktu B.Na podstawie rys.5.20 pouwzględnieniu wzorów (d) możemy napisać:vvtgα = A = ω AC = ω oraz tgβ = B = ω BC = ω.ACACBCBCWynika stąd wniosek, że z chwilowego środka obrotu wektory prędkości wszystkich punktów bryływidać pod tym samym kątem α = β.Twierdzenie o rzutach prędkościRzuty wektorów prędkości dwóch punktów bryły sztywnej na prostą przechodzącą przez te punkty są równe.DowódvANa rysunku 5.21 zaznaczono wektory prędkości vAαArABBi vB dwóch punktów A i B bryły sztywnej, a promienieβłączące nieruchomy punkt O z tymi punktami przez rArAi rrB.Wektor rAB łączący punkt A z punktem B wBvBczasie ruchu bryły może zmieniać swój kierunek,ORys.5.21.Rzuty prędkości dwóch punktów bryłysztywnej na prostą ABale jego długość pozostaje stała: r= r = const.Zatem iloczyn skalarnyABABr ⋅ r= r2 = const.(e)ABABABPo zróżniczkowaniu tego wyrażenia względem czasu otrzymamy:d rd rABAB⋅ r + r ⋅= 0dtABABdtlubd rAB ⋅r = 0, (f)d tABponieważ pochodna prawej strony równania (e) jest równa zeru.Z rysunku widać, że:r = r + r , skąd r= r − r.BAABABBAPo zróżniczkowaniu tego wyrażenia względem czasu mamy:d rd rd rABBA=−.d td td tAle pochodne promieni wodzących punktów A i B są równe prędkościom tych punktów vA i vB, czyli d rAB = v − v.d tBAPodstawiwszy powyższą zależność do równania (f) otrzymujemy:(v − v )⋅r = 0 lub v ⋅r = v ⋅r ,BAABBABAABa po rozpisaniu iloczynów skalarnychv r cos β = v r cos α.B ABA ABPo skróceniu przez rAB mamy:vBcosβ = vAcosα.(5.75)Iloczyny występujące w tej równości są odpowiednio rzutami wektorów prędkości vA i vB na prostą łączącą punkty A i B.Tym samym udowodniliśmy twierdzenie o rzutach wektorów prędkości dwóchpunktów bryły sztywnej na prostąłączącąte punkty.Na podstawie tego twierdzenia można w łatwy sposób obliczać prędkość w niektórych prostychzadaniach z kinematyki ruchu płaskiego.Przykład 5.5.Końce pręta AB ślizgają się po dwóch wzajemnie prostopadłych płaszczyznach (rys.5.22a).Koniec A porusza się z prędkością v = 10 cm / s i przyśpieszeniem a = 15 cm 2/ s [ Pobierz całość w formacie PDF ]
zanotowane.pl doc.pisz.pl pdf.pisz.pl odbijak.htw.pl
.Jeżeli biegun redukcji przyjmiemy w chwilowym środku obrotu C, a nie w dowolnym punkcieO′ (rys.5.19), to prędkość dowolnego punktu M bryły możemy wyrazić wzorem:v = v + ω× CM.CPonieważ z założenia prędkość punktu C jest równa zeru ( v = 0 ), więc prędkość punktu M będzie Copisana wzorem:v = ω× CM.(5.73)Z otrzymanego wzoru wynika, że prękość dowolnego punktu M bryły jest prostopadła do prostejłączącej punkt M z chwilowym środkiem obrotu C.Ponadto występujące w tym wzorze wektory ω i CM są prostopadłe, więc moduł prędkościv = ω CM, (5.74)czyli jest proporcjonalny do odległości CM punktu M od chwilowego środka obrotu.Z powyższych rozważań oraz z otrzymanych wzorów wynikają następujące wnioski:a) Ruch płaski bryły można sprowadzić do toczenia się bez poślizgu centroidy ruchomej ponieruchomej.b) Ruch płaski bryły można w każdej chwili rozpatrywać jako chwilowy ruch obrotowy wokółchwilowego środka obrotu.vBABvAβαCωRys.5.20.Wyznaczanie chwilowego środkaobrotuZe wzoru (5.73) wynika, że chwilowy środek obrotu C leży na prostej prostopadłej do wektoraprędkości v dowolnego punktu M bryły.Zatem do wyznaczenia chwilowego środka obrotu wystarczy znajomość kierunków prędkości dwóch punktów bryły.Będzie on leżał w miejscu przecięcia prostych prostopadłych do kierunków prędkości punktów A i B (rys.5.20).Mając już wyznaczony punkt C, wartości prędkości punktów A i B obliczymy ze wzoru (5.74):vA = ω AC i vB = ω BC.(d)Dla znanej wartości vA z pierwszego wzoru obliczymy chwilową prędkość obrotową ω:ω = vA ,ACa następnie możemy wyznaczyć moduł prędkości vB punktu B.Na podstawie rys.5.20 pouwzględnieniu wzorów (d) możemy napisać:vvtgα = A = ω AC = ω oraz tgβ = B = ω BC = ω.ACACBCBCWynika stąd wniosek, że z chwilowego środka obrotu wektory prędkości wszystkich punktów bryływidać pod tym samym kątem α = β.Twierdzenie o rzutach prędkościRzuty wektorów prędkości dwóch punktów bryły sztywnej na prostą przechodzącą przez te punkty są równe.DowódvANa rysunku 5.21 zaznaczono wektory prędkości vAαArABBi vB dwóch punktów A i B bryły sztywnej, a promienieβłączące nieruchomy punkt O z tymi punktami przez rArAi rrB.Wektor rAB łączący punkt A z punktem B wBvBczasie ruchu bryły może zmieniać swój kierunek,ORys.5.21.Rzuty prędkości dwóch punktów bryłysztywnej na prostą ABale jego długość pozostaje stała: r= r = const.Zatem iloczyn skalarnyABABr ⋅ r= r2 = const.(e)ABABABPo zróżniczkowaniu tego wyrażenia względem czasu otrzymamy:d rd rABAB⋅ r + r ⋅= 0dtABABdtlubd rAB ⋅r = 0, (f)d tABponieważ pochodna prawej strony równania (e) jest równa zeru.Z rysunku widać, że:r = r + r , skąd r= r − r.BAABABBAPo zróżniczkowaniu tego wyrażenia względem czasu mamy:d rd rd rABBA=−.d td td tAle pochodne promieni wodzących punktów A i B są równe prędkościom tych punktów vA i vB, czyli d rAB = v − v.d tBAPodstawiwszy powyższą zależność do równania (f) otrzymujemy:(v − v )⋅r = 0 lub v ⋅r = v ⋅r ,BAABBABAABa po rozpisaniu iloczynów skalarnychv r cos β = v r cos α.B ABA ABPo skróceniu przez rAB mamy:vBcosβ = vAcosα.(5.75)Iloczyny występujące w tej równości są odpowiednio rzutami wektorów prędkości vA i vB na prostą łączącą punkty A i B.Tym samym udowodniliśmy twierdzenie o rzutach wektorów prędkości dwóchpunktów bryły sztywnej na prostąłączącąte punkty.Na podstawie tego twierdzenia można w łatwy sposób obliczać prędkość w niektórych prostychzadaniach z kinematyki ruchu płaskiego.Przykład 5.5.Końce pręta AB ślizgają się po dwóch wzajemnie prostopadłych płaszczyznach (rys.5.22a).Koniec A porusza się z prędkością v = 10 cm / s i przyśpieszeniem a = 15 cm 2/ s [ Pobierz całość w formacie PDF ]